Question

第一讲：线性空间

Answer 1

集合---现代数学的基本概念。

集合---通常用大写的英文字母表示，其元素用小写的字母表示。

有些集合的元素可以做"运算"。
有些集合的元素不可以做"运算"。
定义1（数域）： 设 是一个非空数集，且 ，若对F中任意元素 与 ，有 则F称为数域。
简而言之： 数域就是对加减乘数四则运算封闭的非空数集。
例如实数集 ，复数集 ，但是自然数集不是数域（除法不封闭）。
定义2（线性空间）： 设F是一个数域，V是一个非空集合。对V中的任意元素 和 ，定义加法运算“+”，且有 对F中任意元素k，以及V中的任意元素 ，定义数乘运算“ ”，且有 若加法运算和数乘运算满足下列性质，则称V为数域F上的线性空间，记为V（F）。
加法满足：
1.交换律
2.结合律
3.零元：V中存在一元素，记为 ,使得对V中任意元素 ，均有 。
4.负元：对 中任意元素 ，均存在元素b，使得 ，记为 。
乘法满足：
1.结合律：对于任意的
2.对V中任意元素a，有
3.分配律：
4.分配律（向量分配律）：对任意的
8个性质加加法乘法的封闭性，一共10个性质。

当数域F是实数域时， 是实线性空间。
当数域F是复数域时， 是复线性空间。

即 由所有次数不超过n的实系数多项式全体组成的一个集合，按照通常的多项式加法和数乘多项式运算， 构成一个实线性空间。

按照通常的矩阵加法和数乘矩阵运算， 构成实线性空间，成为实矩阵空间。
同理可定义复矩阵空间 ：

设A是一给定的 实矩阵，记

证明：
假设 与 均是V的零元。
首先，因为 是零元，由零元素的性质有：
由于 也是零元，同理： 综上有o1=o2,V中的零元唯一。

证明：
假设a，b均是V的负元。
首先，因为a是负元，由负元的性质有： 同理：
综上a=b，所以V中的负元唯一。