Question

两圆相交时，求公共弦的方程公式。

Answer 1

两圆的公共弦方程公式是：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2。

当两个圆相交时，两个交点的连线叫公共弦。（若只有一个交点，则称公共点。）两圆心所在直线垂直平分公共弦。推导过程：若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2，圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2。两式联立得上述公式。

公共弦

两个圆若是相交，则至多交于2点。而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。而减后的方程必定满足X、Y（就是两个交点），换句话说，就是两个交点所共同满足的直线方程。而我们知道，平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。

设两圆分别为：x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0。x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0。两式相减得：（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0。这是一条直线的方程。

以上内容参考：百度百科——公共弦

Answer 2

当两个圆相交时，可以找到它们的公共弦。公共弦是圆与圆之间的连线，并且同时是两个圆的切线。
设两个圆的方程分别为:
圆1：(x - x1)² + (y - y1)² = r1²
圆2：(x - x2)² + (y - y2)² = r2²
其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是两个圆心的坐标，r1 和 r2 分别是两个圆的半径。
假设两个圆相交于两个点 (x3, y3) 和 (x4, y4)，那么这两个点位于它们的公共弦上。我们可以通过以下方法求解公共弦的方程公式:
1. 计算两个圆心之间的距离 d：
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
2. 计算两个圆半径的和 rSum：
rSum = r1 + r2
3. 根据两个圆的半径关系，确定是否有公共弦：
如果 d > rSum，表示两个圆不相交，没有公共弦。
如果 d = rSum，表示两个圆相切，公共弦是它们的切线。
如果 d < rSum，表示两个圆相交于两个点，公共弦是连接这两个点的线段，我们可以求解这两个点的坐标。
4. 求解两个相交点 (x3, y3) 和 (x4, y4) 的坐标：
x3 = (x1 * r2 + x2 * r1) / rSum
y3 = (y1 * r2 + y2 * r1) / rSum
x4 = (x1 * r2 - x2 * r1) / rSum
y4 = (y1 * r2 - y2 * r1) / rSum
这样，你可以得到公共弦的方程为通过两个点 (x3, y3) 和 (x4, y4) 的直线方程。