Question

不定积分∫(0->2π)(1- cosx

Answer 1

∫(0->2π) (1-cosx)^3 dx

其中(1-cosx)^3

=(1-cosx)(1-cosx)^2

=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)

=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3

=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3

一个个来

1、∫1dx=x

2、∫3cosx dx=3sinx

3、∫3(cosx)^2=3∫[(cos2x)+1]/2 dx

=(3/4)∫(cos2x+1) d2x

=(3/4)(sin2x+2x)

4、∫(cosx)^3 dx=∫(cosx)^2 dsinx

=∫[1-(sinx)^2]dsinx

=sinx-[(sinx)^3]/3

所以

原式={x-3sinx+(3/4)(sin2x+2x)-sinx+[(sinx)^3]/3} (0->2π)

=2π-3sin2π+(3/4)(sin4π+4π)-sin2π+[(sin2π)^3]/3

=2π+3π

=5π

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C