Question

拉格朗日余项和佩亚诺余项有何区别？

Answer 1

拉格朗日余项和佩亚诺余项区别如下。

拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体，佩亚诺余项的泰勒公式描述局部。在是函数和各阶导数的关系是两者都可以使用，如果函数次数较低的话，用拉格朗日余项；函数次数较高的话用佩亚诺余项。无限制范围。

佩亚诺余项的意义在于x趋近于0时，满足拉格朗日余项是前者的高阶无穷小量。如果函数的次数较低且x不是在0的小领域内讨论的话，则并不很适合用带佩亚诺余项的麦克劳林公式。

泰勒展开公式中一共有5种余项，Peano、Schlomilch-Roche、Lagrange、Cauchy和积分余项。而拉格朗日余项使用的是具体表达式，为某个n+1阶导数乘以（x-x0)的(n+1)次方。Peano余项没有具体表达式只是一个高阶无穷小 Rn(x)=0((x-x0)的n次方。

泰勒公式的余项是展开式与原函数的误差，余项越少，误差就越小。在一定允许的范围内，余项可以忽略不计，即所谓的无穷小。泰勒公式有皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分余项等。

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。