Question

拉格朗日余项和皮亚诺余项的区别是什么？

Answer 1

1、描述对象区别：

拉格朗日余项的泰勒公式是描述整体，皮亚诺余项的泰勒公式描述局部。

2、表达式区别：

其中拉格朗日余项使用的是具体表达式，为某个n+1阶导数乘以（x-x0)的(n+1)次方

eano余项没有具体表达式只是一个高阶无穷小 Rn(x)=0((x-x0)的n次方)

3、公式计算方式的区别

麦克劳林公式是泰勒公式中（在a=0 ,记ξ=θX）的一种特殊形式;

皮亚诺型余项为Rn(x) = o(x^n)；

因此再展开时候只需根据要求

如果是展为带皮亚诺余项的泰勒公式则展为

如果是展为带皮亚诺余项的麦克劳林公式则令上式a=0展为

扩展资料

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） 

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余项：

其中θ∈（0,1）。

5、积分余项：

其中以上诸多余项事实上很多是等价的。 

带佩亚诺余项

以下列举一些常用函数的泰勒公式  ：

参考资料来源：百度百科：泰勒公式