Question

设α1,α2,α3,线性无关,求证α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关

Answer 1

证法1. 用定义
设 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0
则 (k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0
由已知α1,α2,α3线性无关
所以 k1+k3=0
k1+k2=0
k2+k3=0
由于系数行列式 =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
= 2 ≠ 0
所以 k1=k2=k3=0
所以 α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关.

证法2. 用矩阵的秩
由已知, (α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)K
K =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
而|K|=2≠0, 故K可逆
所以 r(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=r[(α1,α2,α3)K]=r(α1,α2,α3)=3
所以 α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关.