Question

I= ∫ ∫√ (R²-X²-Y²)dxdy,其中D：x²+y²<=Rx,用极坐标求二重积分

Answer 1

计算过程如图所示：

二重积分本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

二积分的计算其方法主要是通过在直角坐标系和极坐标系中把二重积分化为累次积分。又因为二重积分的计算与积分区域以及被积函数有关联，那就能根据区域的对称性和函数的奇偶性来化简其计算。

扩展资料：

二重积分的几何意义与物理意义

几何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表示积分区域D的面积；

当f(x,y)≥0，则表示以积分区域D，以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积。

物理意义：当f(x,y)>0，则表示面密度为ρ=f(x,y)的，占有平面区域D的平面薄片的质量。

二重积分计算方法总结（及如何选取适当的方法）：

1、积分区域较复杂的情形。

例1的解答与评注。（利用对称性化简积分，再用极坐标计算。）

须要分区域计算二重积分的情形。（被积函数恒等于1时可利用几何意义，即转化为求面积。）

利用变量代换计算二重积分。