Question

若复数z满足 |z-√5+2i|≤1 求:-|||-(1)|z|的最大值和最小值;-|||-(2)？

22.(本小题满分12分)若复数z满足 |z-√5+2i|≤1 求:-|||-(1)|z|的最大值和最小值;-|||-(2) |z-1|^2+|z+1|^2 的最大值和最小值.

Answer 1

由于 |z-√5+2i|≤1，所以 z 的取值范围是以根号5为中心、半径为1的圆盘，记作 D。设 z=x+yi，则 D 的方程为：
(x-√5)^2 + (y-2)^2 ≤ 1
又因为 |z|=√(x^2+y^2)，所以
|||-(1)|z|| = -|z| = -√(x^2+y^2)
要求该式的最大值和最小值，就相当于在圆盘 D 内找到距圆心最远和最近的点，即圆心到圆盘边界的距离。
将 (x-√5)^2 + (y-2)^2 ≤ 1 变形为 y^2-4y+(x-√5)^2 ≤ -4 ，再利用平面几何中圆内接正方形边长等于圆的直径的结论，可以得到当 z 在圆盘 D 上的边界时，其绝对值的最大值为 2√2-√5，最小值为 0（即 z=0 在圆盘内部的一点）。
因此，-|||-(1)|z|| 的最大值为 -2√2+√5，最小值为 0。
(2) 类似地，设 z=x+yi，则 |z-1|^2+|z+1|^2 = (x-1)^2 + y^2 + (x+1)^2 + y^2 = 2(x^2+y^2+1)。于是要求最大值和最小值，就相当于在圆盘 D 内找到 2(x^2+y^2+1) 的最大值和最小值。
容易验证当 x,y 都取最大或最小值时，2(x^2+y^2+1) 取得最大值 32，当且仅当 z 的实部或虚部等于根号5，虚部等于4；当 z=0 时，2(x^2+y^2+1) 取得最小值 2。因此，-|||-(2)|z-1|^2+|z+1|^2|| 的最大值为 -32，最小值为 -2。