设A是n阶方阵(n≥2)，证明：|A|*=|A|n-1
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【答案】：[证明]因为AA*=|A|E ①
①式两边取行列式，得：|A||A*|=|A|n
若|A|≠0，则|A*|=|A|n-1．
若|A|=0．则|A*|=0，否则，若|A*|≠0，则A*可逆．
由|A|=0得：①式为AA*=O． ②
②式两边同时右乘以(A*)-1，得
AA*(A*)-1=O。即A=O，从而A*=O，与|A*|≠0矛盾，所以|A*|=0
即当|A|=0时，|A*|=0，有|A*|=|A|n-1成立．
综上所述，对n阶方阵A(n≥2)，有|A*|=|A|n-1．
①式两边取行列式，得：|A||A*|=|A|n
若|A|≠0，则|A*|=|A|n-1．
若|A|=0．则|A*|=0，否则，若|A*|≠0，则A*可逆．
由|A|=0得：①式为AA*=O． ②
②式两边同时右乘以(A*)-1，得
AA*(A*)-1=O。即A=O，从而A*=O，与|A*|≠0矛盾，所以|A*|=0
即当|A|=0时，|A*|=0，有|A*|=|A|n-1成立．
综上所述，对n阶方阵A(n≥2)，有|A*|=|A|n-1．
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东莞市雅德仪表有限公司
2023-06-12 广告
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