Question

设n阶方阵A满足A2=A(称这样的方阵A为幂等方阵).证明：r(A)+r(A-E)=n.

Answer 1

【答案】：证 由A²=A，有A(A-E)=O，故由3-50题，有
r(A)+r(A-E)≤n (3-46)
又因A+(E-A)=E，故由3-33题，有
r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n (3-47)
综合(3-46)及(3-47)式，即得r(A)+r(A-E)=n.设A为n阶幂等方阵，且0＜r(A)＜n，设ξ₁，…，ξ_r为齐次线性方程组Ax=的基础解系；η₁，…η_s为齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系，读者试证明：
(1) r+s=n；
(2) 向量组ξ₁，…，ξ_r，η₁，…，η_s线性无关.