Question

·求两道高中数学题，步骤要详细，谢谢

1.若tan（α+β）=3tanα，求证2sin2β-sin2α=sin（2α+2β）
2.设m为实数，且tanα和tanβ是方程mx^+（2m-3）x+（m-2）=0的两实数根，求tan（α+β）的最小值
第二题不对，写对的话给分

Answer 1

解: (a=α,b=β)
1.
倒推法
要证:2sin2b-sin2a=sin2(a+b)
即证:
4sinbcosb-2sinacosa=2sin（a+b）cos（a+b）
即证:
2sinbcosb-sinacosa=（sinacosb+cosasinb）*（cosacosb-sinasinb）
即证:
2sinbcosb-sinacosa=sinacosa(cosb)^2-sinbcosb(sina)^2+sinbcosb(cosa)^2-sinacosa(sinb)^2
即证:
sinbcosb(2+(sina)^2-(cosa)^2)=sinacosa(1+(cosb)^2-(sinb)^2)
即证:
sinbcosb(3(sina)^2+(cosa)^2)=sinacosa*2(cosb)^2
把a和b置于等式两端
sinbcosb/(cosb)^2=2sinacosa/3(sina)^2+(cosa)^2
化简，右边分子分母同除以（cosa）^2
tanb=2tana/3(tana)^2+1
tanb*(3(tana)^2+1)=2tana
3(tana)^2*tanb+tanb=2tana
tanb=2tana-3(tana)^2*tanb
等式两边同加上tana
tana+tanb=3tana-3(tana)^2*tanb=3tana(1-tanatanb)
3tana=(tana+tanb)/(1-tanatanb)=tan(a+b)
原式得证

2.
由于tana和tanb是
方程mx^2+(2m-3)x+(m-2)=0的两实数根
则由韦达定理得:
tana+tanb=(3-2m)/m
tana*tanb=(m-2)/m
则:
tan(a+b)
=[tana+tanb]/[1-tana*tanb]
=[(3-2m)/m]/[1-(m-2)/m]
=[3-2m]/[m-(m-2)]
=(3-2m)/2
=-m+3/2

故tan(a+b)无最值

Answer 2

我觉得上一位答的对，是不是题目不对啊？

Answer 3

倒推
2sin2b-sin2a=sin2(a+b)
4sinbcosb-2sinacosa=2sin（a+b）cos（a+b）
2sinbcosb-sinacosa=（sinacosb+cosasinb）*（cosacosb-sinasinb）
2sinbcosb-sinacosa=sinacosa(cosb)^2-sinbcosb(sina)^2
+sinbcosb(cosa)^2-sinacosa(sinb)^2
sinbcosb(2+(sina)^2-(cosa)^2)=sinacosa(1+(cosb)^2-(sinb)^2)
sinbcosb(3(sina)^2+(cosa)^2)=sinacosa*2(cosb)^2
把a和b置于等式两端
sinbcosb/(cosb)^2=2sinacosa/3(sina)^2+(cosa)^2
化简，右边分子分母同除以（cosa）^2
tanb=2tana/3(tana)^2+1
tanb*(3(tana)^2+1)=2tana
3(tana)^2*tanb+tanb=2tana
tanb=2tana-3(tana)^2*tanb
等式两边同加上tana
tana+tanb=3tana-3(tana)^2*tanb=3tana(1-tanatanb)
3tana=(tana+tanb)/(1-tanatanb)=tan(a+b)
原式得证 (a=α,b=β)

由于tana和tanb是
方程mx^2+(2m-3)x+(m-2)=0的两实数根
则由韦达定理得:
tana+tanb=(3-2m)/m
tana*tanb=(m-2)/m
则:
tan(a+b)
=[tana+tanb]/[1-tana*tanb]
=[(3-2m)/m]/[1-(m-2)/m]
=[3-2m]/[m-(m-2)]
=(3-2m)/2
=-m+3/2

故tan(a+b)无最值

Answer 4

注意取实根的条件是判别是大于等于0，⊿≥0，得到m≤9/4,这样m=9/4,-m+3/2最小是-3/4.