Question

已知抛物线y^2=2过点M(p,0)的+直线与抛物线交于A,B两点,则OA和OB的乘积快速解法？

Answer 1

过点M(p,0)的直线必然可以表示成y=kx-kp的形式，其中k为直线的斜率。代入y^2=2x，得到：
(kx-kp)^2=2x
化简后得到：
x(k^2-2)=kp^2
因为k^2-2是常数，所以我们可以令c=k^2-2，则上式变为：
xc=kp^2
这样，我们就得到了一个关于x和k的关系式，即：
x=kp^2/c
可以根据这个关系式求出直线与抛物线的交点A和B的x坐标，进而求出对应的y坐标，然后根据这两个点的坐标，计算出OA和OB的长度，最终计算乘积。
具体地，过点M(p,0)的直线斜率为：
k=dy/dx=2y/xdx/dy=2y/(4y)=y/2
代入c=k^2-2，得到：
c=y^2/4-2
将k代入 xc=kp^2/c 中，得到：
x=2kp^2/y^2-8
因为过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，所以这两个交点的横坐标是相同的，即：
2kp^2/y^2-8 = p
解出：
y^2 = 2kp^2/(p+4)
因此，A、B的坐标为：
A(p,y) = (p,√(2kp^2/(p+4)))
B(p,-y) = (p,-√(2kp^2/(p+4)))
OA和OB的长度分别为：
|OA| = √(p^2 + 2kp^2/(p+4))
|OB| = √(p^2 + 2kp^2/(p+4))
因此，OA和OB的乘积为：
|OA|·|OB| = (p^2 + 2kp^2/(p+4)) = (p^4 + 2kp^2)/(p+4)