Question

已知四边形ABCD，角ABC=30度角ADC=60度，AD=DC，求证BD平方=AB平方+BC平方

两种方法

Answer 1

看图时请点击原图

方法一：把△ABD绕D逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=

60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30

°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP²

∵CP=AB,BP=BD∴你的结论O(∩_∩)O嗯！…………   如图1

方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形

ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠

DCB,PC=BC ∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC

，AP=BD ∴你的结论O(∩_∩)O嗯！…………    如图2

如果有什么不对劲的地方，或者是补充请在我的百度HI上告诉我，谢谢合作

Answer 2

证明：过B点作AB的垂线BE，在BE上截取BE=BC，如图所示，连接AE，则:

AE²=AB²+BE²，

因为：BE=BC

所以：AE²=AB²+BC²

因为：∠ABC=30°，∠ABE=90°

所以：∠EBC=60°

而：BC=BE

所以：△BCE是等边三角形

在△BCD和△ECA中

因为：BC=EC,CD=CA，∠BCD=60°+∠BCA=∠ECA

所以：这两个三角形全等

所以：BD=EA

所以：BD²=AB²+BE²