Question

高一 数学 求实数m的取值范围 请详细解答,谢谢! (31 20:17:13)

1、已知点P(x,y)是圆C:x 2+y 2-2y=0上的动点，（1）若s=2x+y，求s的取值范围（2）若x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

（1）
整理圆的方程可得，x^2+(y-1)^2=1
s=2x+y--->y=-2x+s
此表达式，表示一系列斜率为-2的直线，其中s为该直线在y轴上的截距，要使得s取得最大最小值，只有使得该直线与圆相切
将直线方程代入圆，令判别式为0，即可解得s的值
s=1±√5
即s的最大值为1+√5,最小值为1-√5
还有一种办法，令x=cosa,y-1=sina,y=1+sina
s=2cosa+sina+1=√5sin(a+Ф)+1,也能得到答案

（2）参照上题解法
x+y=1+sina+cosa=1+√2sin(a+π/4)，可见其最小值为1-√2
当x+y取得最小值的时候，也满足x+y+m>=0恒成立，那么m就是要求的值
很显然m+1-√2>=0，解得
m>=√2-1

Answer 2

我只讲个思想：
将圆化成标准方程 x^2+(y-1)^2=1，圆心为（0，1）
（1）因为P（x，y）是圆上的点，而且s=2x+y，则圆心到这条直线的距离<=半径
即（0，1）到直线s=2x+y的距离小于等于1，带入公式可求。
（2）1=x^2+(y-1)^2>=((x+y-1)/2)^2可以得到x+y的取值范围，这里x+y有个最小值
然后就根据x+y+m>=0就可以求出m的取值范围了，只要保证x+y的最小值都能让这个不等式成立，就行了。

Answer 3

用换元法：
令x=cosθ，y=sinθ+1
(1)s=2cosθ+sinθ+1
=√5sin(θ+φ)+1
由于sin(θ+φ)∈[-1,1]
所以s∈[1-√5,1+√5]
(2)cosθ+sinθ+1+m≥0恒成立，
则：√2sin(θ+π/4)+1+m≥0恒成立
所以m≥√2－1