Question

已知椭圆x2/3+y2/2=1的左右焦点分别为f1，f2。（x的平方/3）

过f1的直线交椭圆于B，D两点，过f2的直线交椭圆于A,C两点，且AC垂直BD，垂足为P，
（1）设P的坐标为（x0，y0），证明x02/3+y02/2小于1（x0的平方）/3
（2）求四边形ABCD的最小面积

Answer 1

证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距c= 3-2 =1，
由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，
所以，x 22 3 +y 20 2 ≤x 20 2 +y 20 2 =1 2 ＜1．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程x2 3 +y2 2 =1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0．
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-6k2 3k2+2 ，x1x2=3k2-6 3k2+2 |BD|= 1+k2 •|x1-x2|= (1+k2)•[(x2+x2)2-4x1x2] =4 3 (k2+1) 3k2+2 ；
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为-1 k ，
所以，|AC|=4 3 (1 k2 +1) 3×1 k2 +2 =4 3 (k2+1) 2k2+3 ．
四边形ABCD的面积S=1 2 •|BD||AC|=24(k2+1)2 (3k2+2)(2k2+3) ≥24(k2+1)2 [(3k2+2)+(2k2+3) 2 ]2 =96 25 ．
当k2=1时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为96/25 ．

Answer 2

我记得不错的话 应该是 某省的高考题
设过F1 斜率为K 则另一条为-1/K
点P 均在两条直线上 写出其中任何一条直线即可
与椭圆联立 计算出判别试大于0 (有两个交点) 再经过变形 答案就在其中!
第2问有点麻烦 需要算出相应的坐标 只需要算出一条直线 另一天只用把斜率一换即可 将四边形的面积转化 最后用均植不等式 就能得出你要的答案!

注意计算要细心咯哦!