Question

已知a ，b ，m ，n均为正数

已知a ，b ，m ，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）(bm+an)的最小值为_____ 。
解析是这样说的：
（am+bn）(bm+an)=abm^2+(a^2+b^2)mn+abn^2
=ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2)=4ab+2(a^2+b^2)
=2(a^2+2ab+b^2)
=2(a+b)^2
=2(当且仅当m=n=√2时等号成立)

针对以上全部解析过程，我有一处不懂：ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2) 这一步是怎么得来的？不是a^2+b^2 ≥ 2ab么，那为什么不等号右边部分还加了一个：2(a^2+b^2) ？

Answer 1

(m^2+n^2)≥ 2mn，所以ab(m^2+n^2)≥2abmn，所以ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2)
注意已知条件a+b=1，mn=2，要代进去计算

追问

我最初想的是：在ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2) 这个式子中。
ab(m^2+n^2)就已经是公式中的a^2；而2(a^2+b^2)就是公式中的b^2 那为什么这样想不对呢？

追答

我还是无法理解，ab(m^2+n^2)怎么就是a^2了
2(a^2+b^2)是由2(a^2+b^2）mn得来的 ，因为已知条件中mn=1

追问

您的思路是正确的，而我的出了偏差，自然你就无法理解我的了，我本来想再解释一下，但想了想就算了

追答

恩

Answer 2

那个是在不等式两边同时加上去的
(m^2+n^2) ≥ 2mn+2(a^2+b^2)
ab(m^2+n^2) ≥ 2abmn
ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2)

追问

(m^2+n^2) ≥ 2mn+2(a^2+b^2)

这个式子您是不是多写了：+2(a^2+b^2)？

追答

恩，是的，不好意思

追问

嘿嘿，别这么说，你的答案对我很有帮助

追答

呵呵

Answer 3

ab(m^2+n^2)+2(a^2+b^2) ≥ 2abmn+2(a^2+b^2) 中，只有m^2+n^2 ≥2mn，其它没变化。