已知a,b为正数,且a+b=1,m,n为正数,求证:(am+bm)(bm+an)大于等于mn
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∵a+b=1
∴a^2+2ab+b^2=1
∵mn为正数
∴mna^2+2mnab+mnb^2=mn
mn(a^2+b^2)+2mnab=mn
∵(am+bn)(bm+an)=abm^2+a^2mn+b^2mn+abn^2=mn(a^2+b^2)+ab(m^2+n^2)
∴(am+bn)(bm+an)-mn=[mn(a^2+b^2)+ab(m^2+n^2)]-[mn(a^2+b^2)+2mnab]=ab(m^2+n^2-2mn)=ab(m-n)^2
∵ab为正数
∴ab>0
∵(m-n)^2≥0
∴ab(m-n)^2≥0
因此：:(am+bm)(bm+an)大于等于mn
∴a^2+2ab+b^2=1
∵mn为正数
∴mna^2+2mnab+mnb^2=mn
mn(a^2+b^2)+2mnab=mn
∵(am+bn)(bm+an)=abm^2+a^2mn+b^2mn+abn^2=mn(a^2+b^2)+ab(m^2+n^2)
∴(am+bn)(bm+an)-mn=[mn(a^2+b^2)+ab(m^2+n^2)]-[mn(a^2+b^2)+2mnab]=ab(m^2+n^2-2mn)=ab(m-n)^2
∵ab为正数
∴ab>0
∵(m-n)^2≥0
∴ab(m-n)^2≥0
因此：:(am+bm)(bm+an)大于等于mn
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