Question

已知m，n，a，b都是正数，证明a^(m+n)+b^(m+n)>=a^mb^n+a^nb^m

a^(m+n)+b^(m+n)-a^mb^n-a^nb^m
=a^ma^n+b^mb^n-a^mb^n-a^nb^m
=(a^ma^n-a^mb^n)+(b^mb^n-a^nb^m)
=a^m(a^n-b^n)+b^m(b^n-a^n)
=(a^m-b^m)(a^n-b^n) (**)
现在能搜索到的这个答案到这儿我觉得挺对，可下面
分类讨论：
(1)若 a>=b，则 a^m>=b^m，a^n>=b^n，所以(**)式为非负数；
(2)若 a<b， 则 a^m<b^m，a^n<b^n，此时(**)式也为非负数。
综上，原不等式成立。
这个分类对吗，不考虑0<a<1,a>1吗，指数这块怎么算

Answer 1

不用考虑是不是大于1
这个分类是对的
因为a^m>0,b^m>0
a^m/b^m=(a/b)^m
若a>=b
a/b>=1，m>0
∴(a/b)^m>=1
即a^m>=b^m
a<b的情况同理可得