首先,如果|A|=0或者|B|=0, |AB|=0必然成立,反之依然
所以只要证明AB满秩的情况
首先容易证明:当A或B为初等阵时等式成立;
由于满秩阵都可以由初等阵化来,所以可以写成
A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm,其中A0为A的对角化标准阵,易知|A0B|=|A0|*|B|,所以
|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|
=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|
=|A||B|
补充:|A0|=|A|,初等阵的行列式=1
|AB|=|A||B|用两次拉普拉斯公式即证,可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。
对n采用数学归纳法证明。显然,因为1×1矩阵是对称的,该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的,对(k+1)×(k+1)矩阵A,将det(A)按照A的第一行展开。
用分块矩阵的方法来证明:
| A 0|
|-E B|=[按前n行展开]=|A||B| ① (E为单位矩阵)
注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值,第二块行左乘A加到第一块行,
| A 0|
|-E B|=| 0 AB|
|-E B|=[按前n行展开]=(-1)^t|AB||-E|②
t=1+2+……+n+(n+1)+(n+2)+……+(n+n)=n(2n+1)
|-E|=(-1)^n,
注意n(2n+1)+n=2(n²+n)是偶数.
∴(-1)^t|AB||-E|=|AB|③
对照①②③,得到:|A||B|=|AB|
扩展资料:
分块矩阵是高等代数中的一个重要内容,是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧,也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块,可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰,从而能够大大简化运算步骤。
分块矩阵是一个矩阵, 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。
构造一个 (AB都为n阶)
| A O |
| -E B |
的分块行列式,然后通过行列式转换可以转换为:
(-1)^n | -E O |
| A C | (其中C=AB)
利用分块行列式的乘法
就可以证明|AB|=|A||B|了
扩展资料:
常见的数学公式:
正方形的面积=边长×边长 S=a×a;
长方形的面积=长×宽 S=a×b;
平行四边形的面积=底×高 S=a×h;
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2;
内角和:三角形的内角和=180度;
长方体的体积=长×宽×高 V=abc;
长方体(或正方体)的体积=底面积×高 V=Sh;
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=aaa;
圆的面积=半径×半径×π S=πr2。
首先,得知道行列式的两个计算公式
其次,通过构造矩阵来证明
||用分块矩阵的方法来证明:
| A 0|
|-E B|=[按前n行展开]=|A||B| ①(E为单位矩阵)
注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值,第二块行左乘A加到第一块行
| A 0|
|-E B|=
| 0 AB|
|-E B|=[按前n行展开]=(-1)^t|AB||-E|②
t=1+2+……+n+(n+1)+(n+2)+……+(n+n)=n(2n+1)
|-E|=(-1)^n,注意n(2n+1)+n=2(n²+n)是偶数.
∴(-1)^t|AB||-E|=|AB|③
对照①②③,得到:|A||B|=|AB|
扩展资料:
设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。
只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法,容易证明这个结论。
定理3 令A为n×n矩阵。
(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零,则det(A)=0。
(ii) 若A有两行或两列相等,则det(A)=0。
这些结论容易利用余子式展开加以证明。
参考资料来源:百度百科-矩阵行列式