怎么证明行列式乘法定理:|AB|=|A||B|

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高能答主

2021-08-19 · 爱旅游,专注旅游资讯
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首先,如果|A|=0或者|B|=0, |AB|=0必然成立,反之依然

所以只要证明AB满秩的情况

首先容易证明:当A或B为初等阵时等式成立;

由于满秩阵都可以由初等阵化来,所以可以写成

A=P1P2P3...PnA0Q1Q2...Qm,其中A0为A的对角化标准阵,易知|A0B|=|A0|*|B|,所以

|AB|=|P1P2P3...PnA0Q1Q2...QmB|

=|P1||P2||P3|...|Pn||A0Q1Q2...QmB|

=|P1||P2||P3|...|Pn||A0||Q1||Q2|...|Qm||B|

=|A||B|

补充:|A0|=|A|,初等阵的行列式=1

|AB|=|A||B|用两次拉普拉斯公式即证,可以自己设二阶矩阵照我这种方法验证。

对n采用数学归纳法证明。显然,因为1×1矩阵是对称的,该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的,对(k+1)×(k+1)矩阵A,将det(A)按照A的第一行展开。

小琪聊塔罗牌
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2020-11-23 · 小琪带你一起去聊塔罗星座。
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用分块矩阵的方法来证明:

| A 0|

|-E B|=[按前n行展开]=|A||B| ① (E为单位矩阵)

注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值,第二块行左乘A加到第一块行,

| A 0|

|-E B|=| 0 AB|

|-E B|=[按前n行展开]=(-1)^t|AB||-E|②

t=1+2+……+n+(n+1)+(n+2)+……+(n+n)=n(2n+1)

|-E|=(-1)^n,

注意n(2n+1)+n=2(n²+n)是偶数.

∴(-1)^t|AB||-E|=|AB|③

对照①②③,得到:|A||B|=|AB|

扩展资料:

分块矩阵是高等代数中的一个重要内容,是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧,也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块,可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰,从而能够大大简化运算步骤。

分块矩阵是一个矩阵, 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。



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闲庭信步mI5GA
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知道大有可为答主
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首先,你得知道行列式的两个计算公式

其次,通过构造矩阵来证明

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百度网友fdad51a
2020-11-23 · TA获得超过4310个赞
知道小有建树答主
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构造一个 (AB都为n阶)
| A O |
| -E B |
的分块行列式,然后通过行列式转换可以转换为:

(-1)^n | -E O |
| A C | (其中C=AB)
利用分块行列式的乘法
就可以证明|AB|=|A||B|了

扩展资料:

常见的数学公式:

正方形的面积=边长×边长 S=a×a;

长方形的面积=长×宽 S=a×b;

平行四边形的面积=底×高 S=a×h;

梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2;

内角和:三角形的内角和=180度;

长方体的体积=长×宽×高 V=abc;

长方体(或正方体)的体积=底面积×高 V=Sh;

正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=aaa;

圆的面积=半径×半径×π S=πr2。

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2020-11-23 · TA获得超过77万个赞
知道小有建树答主
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首先,得知道行列式的两个计算公式

其次,通过构造矩阵来证明

||用分块矩阵的方法来证明:

| A 0|

|-E B|=[按前n行展开]=|A||B| ①(E为单位矩阵)

注意第三类分块行初等变换不改变行列式的值,第二块行左乘A加到第一块行

| A 0|

|-E B|=

| 0 AB|

|-E B|=[按前n行展开]=(-1)^t|AB||-E|②

t=1+2+……+n+(n+1)+(n+2)+……+(n+n)=n(2n+1)

|-E|=(-1)^n,注意n(2n+1)+n=2(n²+n)是偶数.

∴(-1)^t|AB||-E|=|AB|③

对照①②③,得到:|A||B|=|AB|

扩展资料:

设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法,容易证明这个结论。

定理3 令A为n×n矩阵。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全为零,则det(A)=0。

(ii) 若A有两行或两列相等,则det(A)=0。

这些结论容易利用余子式展开加以证明。

参考资料来源:百度百科-矩阵行列式

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