Question

概率统计的问题，随机变量X的概率密度f(x)=1/[π(1+x^2)]，求期望E(X)

随机变量X的概率密度f(x)=1/[π(1+x^2)]，求期望E(X)
为什么说f(x)=∫(-∞，+∞)xf(x)dx不绝对收敛
xf(x)是奇函数，在R上积分不是0吗？

Answer 1

由随机变量的概率密度可以看出，X服从柯西分布，而柯西分布的均值和方差都不存在。
至于为什么不存在，首先要计算
∫(-∞，+∞)|x|f(x)dx=∫(-∞，0)-xf(x)dx+)+∫(0，+∞)xf(x)dx=∞，
而均值存在的前提是刚才所求积分收敛，即∫(-∞，+∞)|x|f(x)dx<∞，由此可知，期望不存在。

Answer 2

由随机变量概率密度看X服柯西布柯西布均值差都存
至于存首先要计算
∫(-∞+∞)|x|f(x)dx=∫(-∞0)-xf(x)dx+)+∫(0+∞)xf(x)dx=∞
均值存前提刚才所求积收敛即∫(-∞+∞)|x|f(x)dx<∞由知期望存