Question

问一道数列极限的问题

这道题关于必要性的证明，我看不懂谁能给解释一下，特别是括号里的那些，谢谢- -

Answer 1

必要性：对于任意给定的ε∈(0，1），总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε，则数列{xn}收敛于a
分析如下：要证明数列{xn}收敛于a，就是要证明对于任意给定的ε1>0,(注意：这个任意给定的ε1只要是正数，并且可以任意小即可，为了与已知的ε有所区别，这里任意给定的是ε1）存在正整数N，当n≥N时，就会恒有|xn-a|≤ε1成立
可现在任意给定的ε1，如果ε1∈(0，1），由已知当然有|xn-a|≤2ε1（这个由数列收敛的定义，也是收敛的，|xn-a|≤2ε1与|xn-a|≤ε1对于收敛来说是一回事）
所以对于任意给定的ε1>0，如果ε1不属于(0，1）即ε1>1，那如何证出|xn-a|≤ε1呢？
因为ε1>1，所以2ε1-1>1只要令ε=1/(2ε1-1)，则ε∈(0，1），由题意有|xn-a|≤2ε≤2/(2ε1-1)=1/(ε1-1/2)<1/ε1<ε1
即对于任意给定的ε1>0，仍然有|xn-a|≤ε1，由数列收敛的定义，数列{ xn}也是收敛的.