Question

用[a]表示不超过实数a的最大整数，{a}表示a的小数部分，则求方程[x³]+[x²]+[x]={x}-1的解

求详细过程
用[a]表示不超过实数a的最大整数，{a}表示a的小数部分，则求方程[x³]+[x²]+[x]={x}-1的解

Answer 1

解：因为a=[a]+{a}
所以原式可化为：x^3-{x^3}+x^2-{x^2}+x-{x}={x}-1
即： x^3+x^2+x+1={x^3}+{x^2}+2{x}
因为 小数部分∈（0,1）
所以 x^3+x^2+x+1={x^3}+{x^2}+2{x}<4 （1）

设f(x)=x^3+x^2+x+1
f‘（x)=2x^2+2x+1=2(x+1/2)^2+1/2>0.所以f(x)是R上的增函数
因为f(1)=4
所以f(x)<4=f(1), x<1

先讨论如下：
当0<x<1时，x^3={x^3}，x^2={x^2}，x={x}，所以x^3+x^2+x+1=x^3+x^2+x+{x}
化简得{x}=1,不成立
当x=0时，1=0，不成立
当-1<x<0时，[x^3]=[x^2]=[x]=-1,所以x^3=-1+{x^3}，x^2=-1+{x^2}，x=-1+{x}
代入方程（1）x^3+x^2+x+1=x^3+1+x^2+1+2（x+1）=x^3+x^2+2x+4
x+1=2x+4,x=-3不成立
当x=-1时，[x^3]=[x^2]=[x]=-1 ，{x^3}={x^2}={x}=0 代入（1）
-1+1-1+1=0=0成立
当x<-1时，{x^3}>0 ,{x^2}>0,{x}>0,x^3<-1,x^2<-1,x<-1.所以 x^3+x^2+x+1<-3+1-2<0而右边>0，所以不成立
综上，x=-1。