Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转 90°后得到△CBQ．（1

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转 90°后得到△CBQ．（1）求∠PCQ的度数；（2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；（3）当点P在线段AC上运动时（P不与A、C重合），请写出一个反映PA 2 ，PC 2 ，PB 2 之间关系的等式，并加以证明．

Answer 1

（1）由题意知，△ABP≌△CQB， ∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45°，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ， ∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90°，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90°， ∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形． （2）当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4 2 ，AP= 2 ，PC=3 2 ， ∴PQ= PC 2 + CQ 2 =2 5 ． （3）存在2PB 2 =PA 2 +PC 2 ， 由于△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ= 2 PB， ∵AP=CQ， ∴PQ 2 =PC 2 +CQ 2 =PA 2 +PC 2 ， 故有2PB 2 =PA 2 +PC 2 ．