Question

如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G． （1）求证：△ADE≌△CDE；

如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G． （1）求证：△ADE≌△CDE；（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE， ∴△ADE≌△CDE． （2）证明：∵△ADE≌△CDE， ∴∠3=∠4， ∵CH⊥CE， ∴∠4+∠5=90°， 又∵∠6+∠5=90°， ∴∠4=∠6=∠3， ∵AD ∥ BG， ∴∠G=∠3， ∴∠G=∠6， ∴CH=GH， 又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°， ∴∠5=∠7， ∴CH=FH， ∴FH=GH． （3）存在符合条件的x值此时 x= 3 3 ， ∵∠ECG＞90°，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG， ∴∠G=∠8， 又∵∠G=∠4， ∴∠8=∠4， ∴∠9=2∠4=2∠3， ∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°， ∴∠3=30°， ∴x=DF=1×tan30°= 3 3 ．