Question

如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线。

如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线。 求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC 2 =AB·AD。

Answer 1

解：（1）连结BC，AC平分∠BAD ∴∠DAC=∠CAB 又CD切⊙O于点C ∴∠ACD=∠B（弦切角定理） ∵AD⊥CD ∴∠ACD+∠DAC=90° 即∠B+∠CAB=90° ∴∠BCA=90° ∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）。
（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB ∴△ACD∽△ABC ∴ ∴AC 2 =AB·AD。