Question

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，

如图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．

Answer 1

由分析知，两个弯月型面积和为：

1

2

π×(

AC

2

)2+

1

2

π×(

BC

2

)2-

1

2

π×(

AB

2

)2+

1

2

×AC×BC
=

1

8

πAC²+

1

8

πBC²-

1

8

πAB²+

1

2

×AC×BC
=

1

8

π（AC²+BC²-AB²）+

1

2

×AC×BC
=

1

2

×AC×BC；
所以两个弯月型面积和=△ABC的面积．
当△ABC的底不变时，高越大，面积就越大，
所以当点C在圆周的最高处，即在弧AB的中点上时，△ABC的面积最大，此时，两个弯月型面积和也最大．