Question

（2014?道里区一模）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5交y轴于点A，交x轴负半

（2014?道里区一模）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5交y轴于点A，交x轴负半轴于点B及点C（-1，0），OB=OA．（1）求抛物线所对应的函数的解析式；（2）点P从点A出发沿抛物线y=ax2+bx+5向终点B运动，点P到y轴的距离为m，过点P作y轴的平行线交AB于点D，设线段PD的长为d（d≠0），求d与m之间的函数关系式并直接写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，直线PD交x轴于点E，过点P作AB的垂线，点F为垂足，当m为何值时，有PF＝2PE？

Answer 1

（1）由y=ax²+bx+5，当x=0时，y=5，
∴A（0，5），
∴AO=5，OB=OA=5，B（-5，0），
将C，B点代入y=ax²+bx+5得：

0＝a?b+5 0＝25a?5b+5

，
解得：

a＝1 b＝5

．
∴抛物线解析式为：y=x²+6x+5；

（2）设直线AB对应的直线的解析式为：y=kx+c，
∵A（0，5），B（-5，0），
∴

5＝c 0＝?5k+c

，
解得：

k＝1 c＝5

，
∴y=x+5，
由y=x²+6x+5，当x=-m时，
y=m²-6m+5，则P（-m，m²-6m+5），
由y=x+5，当x=-m时，y=-m+5，∴D（-m，-m+5），
d=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m，
自变量的取值范围是：0＜m＜5；

（3）∵OA=OB=5，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∵PF⊥AB，PD∥OA，
∴∠FDP=∠FPD=45°，PD=

2

PF=2PE，
如图1，当0＜m＜1时，点P在点E上方，
PE=m²-6m+5
∴-m²+5m=2（m²-6m+5），
解得：m₁=

2

3

，m₂=5（不合题意舍去），
如图2，当1＜m＜5时，点P在点E下方，
PE=-（m²-6m+5）
∴-m²+5m=-2（m²-6m+5），
解得：m₁=2，m₂=5（不合题意舍去），
综上所述，当m=2或m=

2

3

时，有PF=

2

PE．