Question

如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分

如图，△ABC中，点P是AC边上一个动点，过P作直线EF∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角∠ACD平分线于点F．（1）请说明：PE=PF；（2）当点P在AC边上运动到何处时，四边形AECF是矩形？为什么？（3）在（2）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？（4）当点P在边AC上运动时，四边形BECF可能是菱形吗？请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠1，
∴∠E=∠2，
∴EP=PC，
同理PF=PC，
∴EP=PF；

（2）当点P在AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵PA=PC，PE=PF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠ECF=

1

2

∠BCD=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；

（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵EF∥BC，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是正方形；

（4）四边形BECF不可能是菱形，
∵∠ECF=90°，
∴EF＞CF，
∴四边形BECF不可能是菱形．