如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，
如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求线段DE的长；（2）设直...
如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求线段DE的长；（2）设直线ED分别交OA、OB的延长线于点M和点N，试问线段ME、ED、DN之间有什么数量关系，并说明理由；（3）若BC=1，则△DOE的面积=15+303215+3032．
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（1）连接AB，如图1．
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=
=2
．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=EC．
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DE=
AB=
．
∴线段DE的长为
．
（2）ED2=ME2+DN2．
证明：连接OC并延长到点G，使得OG=OM，连接AB，如图2．
∵DE∥AB（已证），
∴∠M=∠OAB=45°，∠N=∠OBA=45°．
∴∠M=∠N=45°．
∴OM=ON．
∴OM=ON=OG．
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC．
∴∠AOE=∠COE．
同理可得：∠COD=∠BOD．
在△OEM与△OEG中，
．
∴△OEM≌△OEG．
∴ME=GE，∠M=∠EGO．
同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．
∴∠EGD=∠EG0+∠DGO=∠M+∠N=45°+45°=90°．
∴DE2=EG2+DG2．
∴DE2=ME2+DN2．
（3）过点D作DH⊥OE于H，连接OC，如图3，
则有∠AOE=∠COE，∠COD=∠BOD（已证）．
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=
（∠COD+∠BOD+∠AOE+∠COE）
=
∠AOB=45°．
∵∠ODB=90°，OB=2，BD=
BC=
，
∴OD=
=
．
在Rt△OHD中，
DH=OD?sin∠DOH=
×
=
，
OH=OD?cos∠DOH=
×
=
．
在Rt△DHE中，
HE=
=
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=
| OA2+OB2 |
| 2 |
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=EC．
∴DE为△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DE=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
∴线段DE的长为
| 2 |
（2）ED2=ME2+DN2．
证明：连接OC并延长到点G，使得OG=OM，连接AB，如图2．
∵DE∥AB（已证），
∴∠M=∠OAB=45°，∠N=∠OBA=45°．
∴∠M=∠N=45°．
∴OM=ON．
∴OM=ON=OG．
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC．
∴∠AOE=∠COE．
同理可得：∠COD=∠BOD．
在△OEM与△OEG中，
|
∴△OEM≌△OEG．
∴ME=GE，∠M=∠EGO．
同理可得：DN=DG，∠N=∠DGO．
∴∠EGD=∠EG0+∠DGO=∠M+∠N=45°+45°=90°．
∴DE2=EG2+DG2．
∴DE2=ME2+DN2．
（3）过点D作DH⊥OE于H，连接OC，如图3，
则有∠AOE=∠COE，∠COD=∠BOD（已证）．
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∵∠ODB=90°，OB=2，BD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OD=
| OB2?BD2 |
| ||
| 2 |
在Rt△OHD中，
DH=OD?sin∠DOH=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
OH=OD?cos∠DOH=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 4 |
在Rt△DHE中，
HE=
| DE2?DH2 |
(
|
