Question

已知函数f(x)＝lnx?ax，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；（2）若f（x）在[1，e]

已知函数f(x)＝lnx?ax，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的单调递增区间；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求出a的值．

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)＝lnx?

1

x

，其定义域为（0，+∞）
f′(x)＝

1

x

+

1

x2

＝

x+1

x2

令f'（x）＞0，得x＞-1，又x∈（0，+∞），
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（2）f′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

，x∈（0，+∞）
①当a≥-1时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=-a，
由?a＝

3

2

，得a＝?

3

2

（舍去）；
②当a≤-e时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在[1，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝1?

a

e

，
由1?

a

e

＝

3

2

，得a＝?

e

2

（舍去）；
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0，得x₀=-a．
当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-a，e）上为增函数．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1，
由ln(?a)+1＝

3

2

，得a＝?

e

．
综上所述，a＝?

e

．