Question

在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=______

在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=______．

Answer 1

如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM， ∵∠ABM+∠MBT=90°， ∠OTB+∠MBT=90°， ∴∠ABM=∠OTB，则△BAM ∽ △TOB， ∴ AM OB = MB BT ，即 AM MB = OB BT ，即MB 2 =2AM?BT ① 令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2-K，BM= 4+ (2-K) 2 ，BT=2+K， 代入①中得：4+（2-K） 2 =2（2-K）（2+K）， 解方程得：K 1 =0（舍去），K 2 = 4 3 ． ∴AM=2- 4 3 = 2 3 ． tan∠ABM= AM AB = 2 3 2 = 1 3 ． 故答案是： 1 3 ．