Question

若函数f(x)=loga(ax^2-x)在区间【2，4】上是增函数，则实数a的取值范围是

Answer 1

解令U=ax^2-x，则原函数变为y=logaU，
当a＞1时，y=logaU是增函数，
故U=ax^2-x在[2,4]是增函数，
由U的对称轴为x=1/2a
则1/2a≤2且U(2)＞0
即a≥1/4且4a-2＞0
即a＞1/2
故此时a＞1

当0＜a＜1时，y=logaU是减函数，
故U=ax^2-x在[2,4]是减函数，
由U的对称轴为x=1/2a
则1/2a≥2且U(4)＞0
即a≤1/4且16a-4＞0
即a≤1/4且a＞1/4
即a不存在

故综上知a的范围是a＞1

Answer 2

解：∵f(x)=loga(ax^2-x)在[2,4]上是增函数
即ax^2-x＞0在[2,4]恒成立
即a＞x/x^2=1/x在[2,4]恒成立
即a＞（1/x）max=1/2
①1/2＜a＜1时，y=logax为减函数
∴y=ax^2-x在[2,4]单调递减,∵y=ax^2-x对称轴x=1/（2a）
∴1/（2a）≥4,∴a≤1/8
综上,a∈空集
②a＞1时，y=logax为增函数
∴y=ax^2-x在[2,4]单调递增
∴1/（2a）≤2,∴a≥1/4
∴综上,a∈（1,＋∞）
∴综上①②,a∈（1,＋∞）

Answer 3

因为底数a>0，且a≠1
因此真数g(x)=ax^2-x=x(ax-1) ，开口向上，对称轴为x=1/(2a)
由g(x)>0得:f(x)定义域为x>1/a, 或x<0
若a>1, 则g(x)的增区间即为f(x)的增区间，此时对称轴在[2,4]左边，即1/(2a)<=2, 得：a>=1/4, 故有a>1,此时g(2)=4a-2>0, 因此符合；
若0<a<1,则g(x)的减区间为f(x)的增区间，此时对称轴在[2,4]右边，即1/(2a)>=4, 得：a<=1/8, 故有0<a<=1/8, 此时g(4)=16a-4<0, 因此不符合。
综合得a的取值范围是：a>1