Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB= ，AD=2，BC=3，下列结论：①∠C

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB= ，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S △ADC =2S △ABE ；④BO⊥CD，其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④



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Answer 1

D

试题分析：根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论． 解：在直角三角形ABC中，∵AB= ，BC=3， ∴tan∠ACB= ． ∴∠ACB=30°． ∴∠BAC=60°，AC=2AB=2 ．②是正确的 ∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∴CE=AD=2． ∴BE=1． 在直角三角形ABE中，tan∠BAE= ，∠BAE=30°． ∴∠CAE=30°．①是正确的 ∴AE=2BE=2． ∵AE=CE， ∴平行四边形ADCE是菱形． ∴∠DCE=∠DAE=60°． ∴∠BAE=30° 又∵∠CAE=30° ∴∠BAO=60° 又∵AB=AO ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ABO=60°． ∴∠OBE=30°． ∴BO⊥CD．④是正确的． ∵AD∥BC，AD=2BE． ∴S △ ADC =2S △ ABE ，③是正确的． ∴①②③④都是正确的，故选D． 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.