Question

若函数f（x）同时满足以下两个条件：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在区间[a，

若函数f（x）同时满足以下两个条件：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．则称函数f（x）为“自强”函数．（1）判断函数f（x）=2x-1是否为“自强”函数？若是，则求出a，b若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=2x?1+t是“自强”函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

解（1）∵①函数f（x）=2^x-1在R上为增函数； ②假设存在区间[a，b]，满足

f(a)＝2a?1＝a f(b)＝2b?1＝b

，
∴a、b 是方程 2^x=x+1 的两个不同的实根，a=0，b=1，
函数f（x）=2^x-1是“自强”函数，且 a=0，b=1．
（2）∵①函数f（x）=

2x?1

+t 在[

1

2

，+∞）上为增函数，
②设区间[a，b]，满足

f(a)＝  2a?1 +t＝a f(b)＝ 2b?1 +t＝b

，
∴a、b 是方程

2x?1

+t=x 的两个不同的根，且b＞a≥