Question

已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内

已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[a2 ， b2]．若函数g(x)＝x?1+m，g（x）∈M，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

设 g（x）=

x?1

+m，则易知g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数．
∵g（x）∈M，
∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足 g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b．
即方程 g（x）=

1

2

x在[1，+∞）内有两个不等实根．
[法一]：方程

x?1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）内有两个不等实根，等价于方程 x-1=(

1

2

x?m)2在[2t，+∞）内有两个不等实根．
即方程x²-（4m+4）x+4m²+4=0在[2m，+∞）内有两个不等实根．
根据一元二次方程根的分布有

(2m)2?(4m+4)?2m+4m2+4≥0  △＝(4m+4)2?4(4m2+4)＞0 4m+4 2 ＞2m

解得 0＜m≤

1

2

因此，实数t的取值范围是 0＜m≤

1

2

．
[法二]：要使方程]：方程

x?1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）内有两个不等实根
即方程