已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内
已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为[a2,b2...
已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为[a2 , b2].若函数g(x)=x?1+m,g(x)∈M,则实数m的取值范围是______.
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设 g(x)=
+m,则易知g(x)是定义域[1,+∞)上的增函数.
∵g(x)∈M,
∴存在区间[a,b]?[1,+∞),满足 g(a)=
a,g(b)=
b.
即方程 g(x)=
x在[1,+∞)内有两个不等实根.
[法一]:方程
+m=
x 在[1,+∞)内有两个不等实根,等价于方程 x-1=(
x?m)2在[2t,+∞)内有两个不等实根.
即方程x2-(4m+4)x+4m2+4=0在[2m,+∞)内有两个不等实根.
根据一元二次方程根的分布有
解得 0<m≤
因此,实数t的取值范围是 0<m≤
.
[法二]:要使方程]:方程
+m=
x 在[1,+∞)内有两个不等实根
即方程
x?1 |
∵g(x)∈M,
∴存在区间[a,b]?[1,+∞),满足 g(a)=
1 |
2 |
1 |
2 |
即方程 g(x)=
1 |
2 |
[法一]:方程
x?1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即方程x2-(4m+4)x+4m2+4=0在[2m,+∞)内有两个不等实根.
根据一元二次方程根的分布有
|
解得 0<m≤
1 |
2 |
因此,实数t的取值范围是 0<m≤
1 |
2 |
[法二]:要使方程]:方程
x?1 |
1 |
2 |
即方程
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