Question

已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体，①f(x)在定义域上是单调函数，②在f(x)的定义域内存在闭

已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体，①f(x)在定义域上是单调函数，②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],是f(x)在[a,b]上的值域为[0.5a,0.5b],若函数g(x)=√(x-1) +m,g(x)M,则实数m的取值范围是，，， 答案是(0,0.5]

方法是换元 但为什么平方算出来不对 我平方之后设Δ＞0 x1+x2＞2 (x1-1)(x-2)＞0 老师说是平方把范围扩大了 但到底哪一步扩大的范围

Answer 1

【1】
函数g(x)=[√(x－1)]＋m满足，因这个函数是递增的，则：
g(a)=(1/2)a、g(b)=(1/2)b
得：
[√(a－1)]＋m=(1/2)a、[√(b－1)]＋m=(1/2)b
即：
(1/2)a－[√(a－1)]=m、(1/2)b－[√(b－1)]=m
也就是说：方程(1/2)x－[√(x－1)]=m在区间[1，＋∞)上有两个不同的实数根
设：√(x－1)=t，则这个方程可以化为：
t²＋1－t=m
那只要使得方程：t²－t＋(1－m)=0在区间[0，＋∞)上存在两个不同的实数根即可。
………………
【2】
你的解法是完全可以的。

追问

我的解法算出来不对啊 算出来是(0,正无穷)

追答

【1】
函数g(x)=[√(x－1)]＋m满足，因这个函数是递增的，则：
g(a)=(1/2)a、g(b)=(1/2)b
得：
[√(a－1)]＋m=(1/2)a、[√(b－1)]＋m=(1/2)b
即：
(1/2)a－[√(a－1)]=m、(1/2)b－[√(b－1)]=m
也就是说：方程(1/2)x－[√(x－1)]=m在区间[1，＋∞)上有两个不同的实数根
设：√(x－1)=t，则这个方程可以化为：
(1/2)(t²＋1)－t=m
t²－2t＋1=2m
那只要使得方程：t²－2t＋(1－2m)=0在区间[0，＋∞)上存在两个不同的实数根即可。
解得：00
得：m>0
(2)(x1－1)＋(x2－1)>0
x1＋x2>2
4(m＋1)>2
m>－1/2
(3)(x1－1)(x2－1)≥0
(x1x2)－(x1＋x2)＋1≥0
4(m²＋1)－4(m＋1)＋1≥0
4m²－4m＋1≥0，此时m∈R。
(4)考虑：2[√(x1－1)]=x1－2m、2[√(x2－1)]=x2－2m
则：
①(x1－2m)(x2－2m)≥0
(x1x2)－2m(x1＋x2)＋4m²≥0
4(m²＋1)－8m(m＋1)＋4m²≥0
4－8m≥0
m≤1/2
②(x1－2m)＋(x2－2m)>0
(x1＋x2)－4m>0
4(m＋1)－4m>0
则：m可以取一切实数。

综合，得：0<m≤1/2