Question

已知M是所有同时满足下列两个性质的函数f（x）的集合：①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（

已知M是所有同时满足下列两个性质的函数f（x）的集合：①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．请解答以下问题（1）判断函数g（x）=-x2（x∈[0，+∞））是否属于集合M？若是，请求出相应的区间[a，b]；若不是，请说明理由．（2）证明函数f（x）=3log2x属于集合M；（3）若函数f（x）=mx1+|x|属于集合M，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂则
g（x₁）-g（x₂）=-x

2 1

+x

2 2

=（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
∴（x₂+x₁）（x₂-x₁）＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0，
g（x₁）＞g（x₂），
函数g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，满足①；
假设函数g（x）∈M，则存在区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
又由①可知函数g（x）=-x²（x∈[0，+∞））在其定义域上是单调递减，
则函数g（x）在其[a，b]上是单调递减，
得

?a2＝b ?b2＝a b＞a≥0

满足条件的解不存在，
则假设不成立，函数g（x）=-x²（x∈[0，+∞））不属于集合M．
（2）证明：函数f（x）=3log₂x定义域为{x|x＞0}，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=3log₂x₁-3log₂x₂=3log₂

x1

x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

x1

x2

＜1，
∴3log₂

x1

x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）=3log₂x在其定义域上是单调递增．
假设f（x）∈M，在函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b，
则

3log2a＝a 3log2b＝b

，令g（x）=2 

x

3

-x，则有g（1）＞0，g（3）＜0，g（9）＜0，g（12）＞0，如右图

存在1＜a＜3，9＜b＜12，使得g（a）=0，g（b）=0，
也就是函数f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b
综上，函数f（x）=3log₂x属于集合M得证．
（3）m=0时，函数f（x）=0，不属于M，则m≠0
f（x）的定义域为R，函数f（x）=

mx

1+|x|

=

m 1 x +1 ，x＞0 0 ，x＝0 m 1 x ?1 ，x＜0

当m＞0时，f（x）分别在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，且?x＜0，f（x）＜0，?x＞0，f（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，
同理可证当m＜0时，f（x）在R上单调递减，则函数在定义域上为单调函数．
若函数f（x）=

mx

1+|x|

属于集合M，则在函数f（x）的定义域R内存在闭区间[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是a，最大值是b．
即方程数

mx

1+|x|

=x有两个不等实根，也就是

m

1+|x|

=1，则m=1+|x|≥1
综上，m≥1