对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b... 对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．（1）求闭函数f（x）=-x 3 符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数g（x）= 3 4 x+ 1 x ，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；（3）若函数φ（x）=k+ x+2 是闭函数，求实数k的取值范围． 展开
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#热议# 在购买新能源车时，要注意哪些？
玲葛c6
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（1）∵y=-x 3 是[a，b]上的减函数，
∴
f(a)=- a 3 =b
f(b)=- b 3 =a.

∴
b
a
=
- a 3
- b 3
=(
a
b
) 3 ．
∴（
a
b
) 4 =1 ，∴
a
b
=±1
又∵-a 3 =b，∴
a=-1
b=1
．
∴所求区间为[-1，1]．
（2）∵g′（x）=
3
4
-
1
x 2
，x ∈（0，+∞），
令g′（x）=
3
4
-
1
x 2
＞0，得x＞
2
 3
3
，
∴x＞
2
 3
3
时，g（x）为（
2
 3
3
，+∞）上的增函数．
令g′（x）=
3
4
-
1
x 2
＜0，得0＜x＜
2
 3
3

∴g（x）为（0，
2
 3
3
）上的减函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
设φ（x）=k+
x+2
满足条件②的区间是[a，b]，
∴
?(a)=k+
 a+2
=a
?(b)=k+
 b+2
=b.

即a，b是方程x=k+
x+2
的两个不等实根．
也就是方程组
x 2 -(2k+1)x+( k 2 -2)=0
x≥-2
x≥k
有两个不等实根a，b．
①当k≤-2时，方程x 2 -（2k+1）+（k 2 -2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
∴
2k+1
2
＞-2
△=(2k+1 ) 2 -4( k 2 -2)＞0
(-2 )
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