对于函数y=f(x),若同时满足下列条件:①函数y=f(x)在定义域D内是单调递增或单调递减函数;②存在区
对于函数y=f(x),若同时满足下列条件:①函数y=f(x)在定义域D内是单调递增或单调递减函数;②存在区间[a,b]?3D,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b...
对于函数y=f(x),若同时满足下列条件:①函数y=f(x)在定义域D内是单调递增或单调递减函数;②存在区间[a,b]?3D,使函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则称f(x)是D上的闭函数.(1)求闭函数f(x)=-x 3 符合条件②的区间[a,b];(2)判断函数g(x)= 3 4 x+ 1 x ,在区间(0,+∞)上是否为闭函数;(3)若函数φ(x)=k+ x+2 是闭函数,求实数k的取值范围.
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(1)∵y=-x 3 是[a,b]上的减函数, ∴
∴
∴(
又∵-a 3 =b,∴
∴所求区间为[-1,1]. (2)∵g′(x)=
令g′(x)=
∴x>
令g′(x)=
∴g(x)为(0,
∴g(x)不是(0,+∞)上的单调函数. ∴g(x)不是(0,+∞)上的闭函数. (3)易知φ(x)是[-2,+∞]上的增函数. 设φ(x)=k+
∴
即a,b是方程x=k+
也就是方程组
①当k≤-2时,方程x 2 -(2k+1)+(k 2 -2)=0在[-2,+∞)上有两个不等实根. ∴
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