Question

已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4?a2n?4＝102n，则数列lga1，2lga2，22lga3，23lga4，…

已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥3时，a4?a2n?4＝102n，则数列lga1，2lga2，22lga3，23lga4，…，2n?1lgan，…的前n项和等于______．

Answer 1

∵等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄?a_2n-4=10²ⁿ，∴a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ，（n∈N^*）；
∴2^n-1?lga_n=2^n-1lg10ⁿ=n?2^n-1；
∴S_n=1+2?2¹+3?2²+…+n?2ⁿ …①，
2S_n=1+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ⁺¹ …②，
∴①-②得
-S_n=1+（2¹+2²+2³+…+2^n-1-n?2ⁿ）
∴-S_n=

1×(1?2n)

1?2

-n×2ⁿ
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1，
故答案为：S_n=（n-1）2ⁿ+1．