Question

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线

如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3）， 则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x 2 +2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y= kx+b，则有： ，解得 ； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m 2 +2m+3）； ∴故N=﹣m 2 +2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m 2 +3m（0＜m＜3）． （3）如图；∵S △BNC =S △MNC +S △MNB = MN（OD+DB） = MN·OB， ∴S △BNC = （﹣m 2 +3m）3=﹣ （m﹣ ） 2 + （0＜m＜3）； ∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 ．