Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，23）在椭圆C上，且PF2⊥x轴．（1）

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，23）在椭圆C上，且PF2⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）求过右焦点F2且斜率为1的直线l被椭圆C截得的弦长|AB|；（3）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线PE的斜率与PF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

解答：（1）解：由题意，c=1，可设椭圆方程为

x2

1+b2

+

y2

4b2

＝1，…（2分）
因为P在椭圆上，所以

1

1+b2

+

9

4b2

＝1，解得b²=3，或b²=

3

4

（舍去）．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．…（4分）．
（2）解：依题意知直线l方程为y=x-1，
设两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

y＝x?1 x2 4 + y2 3 ＝1

?7x2?8x?8＝0…（6分）
∴x1+x2＝

8

7

，x1?x2＝?

8

7

，
∴|AB|＝

(1+k2)[(x1+x 2)2?4x1x2]

=

2[( 8 7 )2+4× 8 7 ]

＝

24

7

．…（8分）
（3）证明：设直线PE方程：得y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

＝1，
得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

?k）²-12=0，…（10分）
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F）．因为点P（1，

3

2

）在椭圆上，
所以xE＝

4( 3 2 ?k)2?12

3+4k2

，y_E=kx_E+

3

2

?k，…（12分）
又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x_F=

4( 3 2 +k)2?12

3+4k2

，y_F=-kx_F+

3

2

+k，…（13分）
所以直线EF的斜率k_EF=

yF?yE

xF?xE

=

?k(xF+xE)+2k

xF?xE

=

1

2

．
即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．…（14分）