如图,如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证
如图,如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)若PD与平面ABCD所成...
如图,如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点.(Ⅰ)求证:AF∥平面PEC;(Ⅱ)若PD与平面ABCD所成角为60°,且AD=2,AB=4,求点A到平面PED的距离.
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解答:(I)证明:如图,取PC的中点O,连接OF,OE.
由已知得OF∥DC且OF=
DC,
又∵E是AB的中点,则OF∥AE且OF=AE,∴AEOF是平行四边形,
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC,AF?平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
(II)解法一:设A平面PED的距离为d,
因PA⊥平面ABCD,故∠PDA为PD与平面ABCD所成角,所以∠PDA=60°,
所以PA=ADtan60o=2
,PD=
=4,
又因为AB=4,E是AB的中点所以AE=2,
PE=
=4,DE=
=2
.
作PH⊥DE于H,因PD=PE=4,DE=2
,
则DH=
,PH=
=
,
则S△ADE=
×AD?AE=2,S△PDE=
×PH?DE=2
因VP-AED=VA-PDE
所以d=
=
=
,
(Ⅱ)解法二:因PA⊥平面ABCD,故∠PDA为PD与平面ABCD所成角,所以∠PDA=60°,
所以PA=ADtan60o=2
,PD=
=4,
又因AB=4,E是AB的中点所以AE=2=AD,
PE=
=4,DE=
=2
.
作PH⊥DE于H,连接AH,因PD=PE=4,则H为DE的中点,故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH,所以平面PDE⊥平面PAH,作AG⊥PH于G,
则AG⊥平面PDE,所以线段AG的长为A平面PED的距离.
又DH=
,PH=
=
由已知得OF∥DC且OF=
1 |
2 |
又∵E是AB的中点,则OF∥AE且OF=AE,∴AEOF是平行四边形,
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC,AF?平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
(II)解法一:设A平面PED的距离为d,
因PA⊥平面ABCD,故∠PDA为PD与平面ABCD所成角,所以∠PDA=60°,
所以PA=ADtan60o=2
3 |
AD |
cos60o |
又因为AB=4,E是AB的中点所以AE=2,
PE=
PA2+AE2 |
DA2+AE2 |
2 |
作PH⊥DE于H,因PD=PE=4,DE=2
2 |
则DH=
2 |
PD2?DH2 |
14 |
则S△ADE=
1 |
2 |
1 |
2 |
7 |
因VP-AED=VA-PDE
所以d=
PA?S△ADE |
S△PDE |
2
| ||
2
|
2
| ||
7 |
(Ⅱ)解法二:因PA⊥平面ABCD,故∠PDA为PD与平面ABCD所成角,所以∠PDA=60°,
所以PA=ADtan60o=2
3 |
AD |
cos60o |
又因AB=4,E是AB的中点所以AE=2=AD,
PE=
PA2+AE2 |
DA2+AE2 |
2 |
作PH⊥DE于H,连接AH,因PD=PE=4,则H为DE的中点,故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH,所以平面PDE⊥平面PAH,作AG⊥PH于G,
则AG⊥平面PDE,所以线段AG的长为A平面PED的距离.
又DH=
2 |
PD2?DH2 |