Question

（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）

（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，

3

2

）在抛物线上，
∴

3

2

=a×3×（-1），解得a=?

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=?

1

2

（x+1）（x-3）=?

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）抛物线解析式为：y=?

1

2

x²+x+

3

2

，令x=0，得y=

3

2

，∴C（0，

3

2

），
∵D（2，

3

2

），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=

3

2

．
直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=

2

k

；令y=

3

2

，得x=

7

2k

；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（

2

k

，0），F（

7

2k

，

3

2

），
OE=

2

k

，BE=3-

2

k

，CF=

7

2k

，DF=2-

7

2k

．
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S_梯形OEFC=S_梯形FDBE，
∴

1

2

（OE+CF）?OC=

1

2

（FD+BE）?OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：

2

k

+

7

2k

=（3-

2

k

）+（2-

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