Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE．
∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB，
∴∠EAB=15°，
∴∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°．
又∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四边形ABCD是正方形．

Answer 2