Question

设函数f(X)在区间[a,b]上连续,且f(a)=f(b)证明存在c属于(a,b),使得f(c)=f(c+(b-a)/2)

如题

Answer 1

先分析思路 连续 连可不可导都不知道
于是很显然只能走介值定理
设g（x）=f（x）-f（x+(b-a)/2)
g(a)=f(a)-f((a+b)/2) g((a+b)/2)=f((a+b)/2)-f(b)
g((a+b)/2)g(a)={f(a)-f((a+b)/2)}{f((a+b)/2)-f(b)}=-{f(a)-f((a+b)/2)}^2<=0 (f（a）=f（b））
a，（a+b）/2均在给定区间内 由介值定理当-{f(a)-f((a+b)/2)}^2<0时存在c满足条件
当-{f(a)-f((a+b)/2)}^2=0 此时取c=（a+b）/2（由于给定的是开区间故不能取a）满足条件