Question

设函数f(X)在区间[a,b]上连续，且f(a)<a,f(b)>b.证明存在c属于(a,b),使得f（c)=c

Answer 1

f(X)在区间[a,b]上连续，F（X）=f（X）-X在区间[a,b]上连续
F（a)<0,F(b)>0
存在c属于(a,b),使得F（c)=0,

存在c属于(a,b),使得f（c)=c

Answer 2

增加辅助函数F(x)=f(x)-x
则F(B)=f(b)-b>0,F(a)=f(a)-a<0
由介值定理得,存在a<c<b使F(c)=0
即,f(c)-c=0
f(c)=c

Answer 3

设F(x)=f(x)-x,
因为F（a）<0,而F（b）>0,
所以一定在【a，b】内存在一定c使得F（c）=0.(大学高等数学中称为“介值定理”)
即存在c使得f(c)=c。