Question

如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC上，且PE=PB．（1）求证：△

如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；（3）若AB=22，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC＝CD ∠ACB＝∠ACD CP＝CP

，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：∵△BCP≌△DCP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴△DPE为等腰直角三角形；

（3）解：∵△DPE为等腰直角三角形，
∴△DPE面积=

1

2

DP²，
∴点P与点A或C重合时，面积最大，点P与正方形的中心重合是面积最小，
∵AB=2

2

，
∴△DPE面积的最大值=

1

2

×（2

2

）²=4，
最小值=

1

2

×（

2

2

×2

2

）²=2．