Question

过直角坐标平面xOy中的抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为 π 4 的直线与抛物线相

过直角坐标平面xOy中的抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为 π 4 的直线与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线AB的方程；（2）试用p表示A、B之间的距离；（3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．参考公式：（x A 2 +y A 2 ）（x B 2 +y B 2 ）=x A x B [x A x B +2p（x A +x B ）+4p 2 ]．

Answer 1

（1）由题意知焦点 F( p 2 ，0) ， ∴过抛物线焦点且倾斜角为 π 4 的直线方程是 y=x- p 2 ， 即x-y- p 2 =0， （2）由 y 2 =2px y=x- p 2 ? x 2 -3px+ p 2 4 =0 ? x A + x B =3p， x A x B = p 2 4 ?|AB|=x A +x B +p=4p． （3）由 y 2 =4x y=x-1 ?x 2 -6x+1=0?x A +x B =6，x A x B =1. cos∠AOB= |AO| 2 + |BO| 2 - |AB| 2 2|AO||BO| = x A 2 + y A 2 + x B 2 + y B 2 - ( x A - x B ) 2 - ( y A - y B ) 2 2 ( x A 2 + y A 2 )( x B 2 + y B 2 ) = x A x B + y A y B ( x A 2 + y A 2 )( x B 2 + y B 2 ) = 2 x A x B - p 2 ( x A + x B )+ p 2 4 x A x B [ x A x B +2p( x A + x B )+4 p 2 ] =- 3 41 41 ． ∴∠AOB的大小是与p无关的定值．