数列{an}满足a1=2，an+1=λan+2n（n∈N*），其中λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列
数列{an}满足a1=2，an+1=λan+2n（n∈N*），其中λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，...
数列{an}满足a1=2，an+1=λan+2n（n∈N*），其中λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由；（2）求数列{an}的前n项和Sn．
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（1）a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4．（1分）
①若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2，即2+（2λ2+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ2-λ+1=0，由△=12-4=-3＜0知方程无实根，
故不存在实数λ，使得数列{an}为等差数列．（3分）
②若数列{an}为等比数列，则a1?a3=a22，即2（2λ2+2λ+4）=（2λ+2）2，
解得λ=1，此时，an+1=an+2n，
由累加法得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=2+21+22++2n-1=2n（n≥2），
显然，当n=1时也适合，故an=2n（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n（n∈N*）．（6分）
（2）①当λ=1时，an=2n（n∈N*），故Sn＝
＝2n+1?2．（7分）
②当λ=2时，an+1＝2an+2n?
＝
+
，即数列{
}是首项为1，
公差为
的等差数列，故
＝1+(n?1)?
，即an=（n+1）?2n-1，
下用错位相减法求Sn．Sn=2+3?2+4?22++（n+1）?2n-1，2Sn=2?2+3?22++n?2n-1+（n+1）?2n，
上面两式相减，得Sn=-2-2-22--2n-1+（n+1）?2n=n?2n．（10分）
③当λ≠1且λ≠2时，下用待定系数法求通项an．
令an+1+x?2n+1=λ（an+x?2n），则an+1=λan+（λ-2）x?2n，
上式与an+1=λan+2n比较系数，得（λ-2）x=1，x＝
．
故数列{an+
}是首项为
，公比为λ的等比数列，从而an+
＝
?λn?1，即an＝
．
因此，Sn＝
①若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2，即2+（2λ2+2λ+4）=2（2λ+2），
得λ2-λ+1=0，由△=12-4=-3＜0知方程无实根，
故不存在实数λ，使得数列{an}为等差数列．（3分）
②若数列{an}为等比数列，则a1?a3=a22，即2（2λ2+2λ+4）=（2λ+2）2，
解得λ=1，此时，an+1=an+2n，
由累加法得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=2+21+22++2n-1=2n（n≥2），
显然，当n=1时也适合，故an=2n（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n（n∈N*）．（6分）
（2）①当λ=1时，an=2n（n∈N*），故Sn＝
| 2(1?2n) |
| 1?2 |
②当λ=2时，an+1＝2an+2n?
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
公差为
| 1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
下用错位相减法求Sn．Sn=2+3?2+4?22++（n+1）?2n-1，2Sn=2?2+3?22++n?2n-1+（n+1）?2n，
上面两式相减，得Sn=-2-2-22--2n-1+（n+1）?2n=n?2n．（10分）
③当λ≠1且λ≠2时，下用待定系数法求通项an．
令an+1+x?2n+1=λ（an+x?2n），则an+1=λan+（λ-2）x?2n，
上式与an+1=λan+2n比较系数，得（λ-2）x=1，x＝
| 1 |
| λ?2 |
故数列{an+
| 2n |
| λ?2 |
| 2λ?2 |
| λ?2 |
| 2n |
| λ?2 |
| 2λ?2 |
| λ?2 |
| (2λ?2)?λn?1?2n |
| λ?2 |
因此，Sn＝
(2λ?2)(1+λ+
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