Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）+f（x）=2f（2），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（3）=

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）+f（x）=2f（2），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（3）=5，则f（2013）=（　　）A．0B．-5C．-10D．-15

Answer 1

∵y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数．
令x=-2，可知f（2）+f（-2）=2f（2），
∴f（-2）=f（2），又f（-2）=-f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）+f（x）=0，
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）是一个周期为8的周期函数，又f（3）=5，
于是f（2013）=f（8×252-3）=f（-3）=-f（3）=-5．
故选B．